弹簧和电路看起来是两类问题，但前者的 displacement 与后者的 charge 满足同一种 second-order equation。借助 characteristic-root 与 particular-solution 方法，我们可以判断系统会不会 oscillate、能否逐渐稳定，以及如何持续响应外部 input。

建立 mass–spring model

在竖直弹簧下悬挂一个 mass $m>0$。设 $l$ 是弹簧的 natural length，$L$ 是物体静止悬挂时额外拉长的长度。运动时的 displacement $y(t)$ 从这个 equilibrium position 开始量，并规定向下为正。

要区分三个长度：natural length 是 $l$，equilibrium 时的长度是 $l+L$，运动时的长度是 $l+L+y$。所以相对于 natural length 的总伸长量是 $L+y$，不只是 $y$。

静止时，向上的 spring force 与 weight 平衡。设 gravitational acceleration 为 $g$，spring constant 为 $k>0$。根据 Hooke's law，

$$mg-kL=0, \qquad \boxed{k=\frac{mg}{L}}.$$

因此，测出静止时的伸长量就能求 stiffness。使用 SI units 时，$m$ 的单位是 kilogram，$L$ 是 meter，$k$ 是 newton per meter。

运动时的 forces

物体开始运动后，把以下四个 forces 都按同一个正方向写出：

Damping coefficient $\gamma\ge0$ 读作 gamma，单位为 $\mathrm{N\,s/m}$。$\gamma=0$ 对应理想的 undamped 情形。注意，$y<0$ 不一定意味着弹簧被压缩：只要 $L+y>0$，弹簧仍然处于拉伸状态。

根据 Newton's second law，mass 乘以 acceleration 等于 net force：

$$\begin{aligned} my''&=mg-k(L+y)-\gamma y'+F(t)\\ &=(mg-kL)-ky-\gamma y'+F(t). \end{aligned}$$

静止时的平衡关系给出 $mg-kL=0$。整理得

$$\boxed{my''+\gamma y'+ky=F(t)}.$$

这不意味着 gravity 消失了，而是因为我们从 equilibrium position 测量 displacement，gravity 的固定贡献已经包含在这个参考位置中。

要确定具体运动，还需指定 initial displacement 和 velocity：

$$y(0)=y_0,\qquad y'(0)=v_0.$$

例如，向下拉物体对应 $y_0>0$，初始向上运动对应 $v_0<0$，而“从静止释放”表示 $v_0=0$。若 $m>0$、$k>0$、$\gamma\ge0$ 都是常数，且 $F$ 在一个包含 $0$ 的 interval 上 continuous，linear existence and uniqueness theorem 就保证该 interval 上恰有一个 solution。

这个模型并不精确描述所有弹簧。它忽略弹簧自身的 mass，并假设 force 与 stretch 成 linear 关系，drag 与 velocity 成正比。在变形较小、速度较低的适用范围内，这些近似很有用。

例：把测量数据写成 IVP

一个 $2\,\mathrm{kg}$ 的物体使弹簧伸长 $4.9\,\mathrm{cm}$。Dashpot 在速度为 $0.5\,\mathrm{m/s}$ 时产生 $8\,\mathrm N$ 的阻力。把物体拉到 equilibrium 下方 $5\,\mathrm{cm}$，从静止释放，不施加 external forcing。取 $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$。

先把长度换成 meter，再计算：

$$k=\frac{2(9.8)}{0.049}=400\,\mathrm{N/m}, \qquad \gamma=\frac{8}{0.5}=16\,\mathrm{N\,s/m}.$$

用于标定 dashpot 的速度不是物体的 initial velocity。题目说从静止释放，所以 IVP 是

$$2y''+16y'+400y=0, \qquad y(0)=0.05,\qquad y'(0)=0.$$

除以 mass，得到等价的 normalized equation：

$$y''+8y'+200y=0.$$

实际的 damping coefficient 仍然是 $\gamma=16$；$8=\gamma/m$ 是 normalized coefficient。区分几种 damping 情形后，我们再求解这个 IVP。

没有 damping 的 free motion

Free 指 $F(t)=0$：除了模型中已有的 forces，没有额外 applied forcing。Undamped 指 $\gamma=0$。同时满足这两个条件时，

$$my''+ky=0, \qquad mr^2+k=0.$$

Characteristic roots 是 $r=\pm i\sqrt{k/m}$。定义 natural angular frequency

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Solution 描述的是 simple harmonic motion：

$$\boxed{y(t)=C_1\cos(\omega_0t)+C_2\sin(\omega_0t)}.$$

对于 nonzero motion，amplitude 为 $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$，period 为

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}.$$

Angular frequency 的单位是 radian per second；按每秒多少个完整周期计算的 frequency 则为 $1/T=\omega_0/(2\pi)$。Mass 越大，oscillation 越慢；spring 越硬，oscillation 越快。Initial conditions 决定 amplitude 和 phase，不决定 natural frequency。

例：initial velocity 向上

设 $m=0.5\,\mathrm{kg}$、$k=8\,\mathrm{N/m}$。物体从 equilibrium 下方 $0.1\,\mathrm m$ 出发，以 $0.4\,\mathrm{m/s}$ 向上运动。于是

$$\frac12y''+8y=0, \qquad y(0)=0.1,\qquad y'(0)=-0.4.$$

这里 $\omega_0=4\,\mathrm{rad/s}$。写成 $y=C_1\cos4t+C_2\sin4t$，initial conditions 给出

$$C_1=0.1,\qquad 4C_2=-0.4,$$

因此

$$\boxed{y(t)=0.1\cos4t-0.1\sin4t\quad\mathrm m}.$$

Period 是 $\pi/2\,\mathrm s\approx1.57\,\mathrm s$，amplitude 是 $0.1\sqrt2\,\mathrm m$。Amplitude 大于 initial displacement，是因为物体起初还带有 kinetic energy。

Energy 与 damping

当 displacement 从 equilibrium 开始测量时，忽略一个不影响变化的常数，mechanical energy 为

$$\mathcal E(t)=\underbrace{\frac12m(y')^2}_{\text{kinetic}} +\underbrace{\frac12ky^2}_{\text{potential}}.$$

要看 energy 怎样变化，把 equation of motion 乘以 velocity $y'$：

$$my''y'+kyy'=-\gamma(y')^2+F(t)y'.$$

左侧两项分别是两个 energy 项的 derivative，因此

$$\boxed{\mathcal E'=-\gamma(y')^2+F(t)y'}.$$

可以用这个关系检查 solution 是否合理：

• 没有 damping，也没有 forcing 时，$\mathcal E'=0$。Kinetic energy 与 potential energy 相互转换，但总和不变。
• 有 damping、没有 forcing 时，$\mathcal E'=-\gamma(y')^2\le0$。Energy 不会增加；velocity 为零的瞬间，energy 的 derivative 也为零。
• Applied force 提供的 power 为 $F(t)y'$。Force 与 velocity 同号时输入 energy，异号时取走 energy。

对前一个例子，

$$\mathcal E(0)=\frac12(0.5)(-0.4)^2+\frac12(8)(0.1)^2 =0.08\,\mathrm J.$$

Undamped motion exchanges kinetic and potential energy while the total stays constant.

$y(t)$

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三种 damping regimes

对于 $\gamma>0$ 的 free motion，characteristic equation 和 discriminant 为

$$mr^2+\gamma r+k=0, \qquad \Delta=\gamma^2-4mk.$$

Roots 为

$$r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\Delta}}{2m}.$$

Roots 的形式决定物体是否会来回 oscillate。

Overdamped：$\Delta>0$。 此时有两个 distinct real roots $r_1,r_2$，且

$$y=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}.$$

由于 $\sqrt{\gamma^2-4mk}<\gamma$，两个 roots 都是负数。运动逐渐衰减，但不带 sinusoidal oscillation。

Underdamped：$\Delta<0$。 把 roots 写成 $\lambda\pm i\mu$，其中

$$\lambda=-\frac{\gamma}{2m}, \qquad \mu=\frac{\sqrt{4mk-\gamma^2}}{2m} =\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^2}{4m^2}}.$$

于是

$$y=e^{-\gamma t/(2m)}\bigl(C_1\cos\mu t+C_2\sin\mu t\bigr).$$

Sinusoidal 因子产生 oscillations，exponential 因子让 amplitude 不断缩小。Angular frequency $\mu$ 小于 $\omega_0$。整个运动不是 periodic 的，因为 amplitude 一直在变化。

Critically damped：$\Delta=0$。 Repeated root 给出

$$y=(C_1+C_2t)e^{-\gamma t/(2m)}.$$

多出的因子 $t$ 不会阻止衰减：当 $t\to\infty$ 时，negative exponential 的衰减快于这个因子的增长。

这三种 positive damping 下的 free motions，无论 initial displacement 和 velocity 如何，最终都趋于 equilibrium。区分 oscillatory 与 nonoscillatory motion 的临界值是

$$\boxed{\gamma_c=2\sqrt{mk}}.$$

对于相同 mass、stiffness，并且同样从静止释放的情形，critical damping 比 overdamping 更快返回 equilibrium，同时不发生 oscillation。这在减震器、闭门器和仪表指针中很有用。但这不表示任意 initial velocity 都会产生 monotone motion：即使 roots 都是 real，solution 也可能穿过 equilibrium。

The same release from rest with damping 0.4, 2, and 5: oscillatory decay, critical return, and slower overdamped return.

$\gamma=0.4$$\gamma=2$$\gamma=5$

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求解前面的弹簧标定例题

前面得到的方程是 $y''+8y'+200y=0$。它的 discriminant 为 $8^2-4(200)=-736$，所以 roots 是

$$r=-4\pm i\sqrt{184}.$$

令 $\mu=\sqrt{184}$，写成 $y=e^{-4t}(C_1\cos\mu t+C_2\sin\mu t)$。在 $t=0$ 处，

$$C_1=0.05,\qquad -4C_1+\mu C_2=0.$$

因此

$$\boxed{y(t)=e^{-4t}\left(0.05\cos(\sqrt{184}\,t) +\frac{0.2}{\sqrt{184}}\sin(\sqrt{184}\,t)\right)}.$$

Sine coefficient 约为 $0.0147$，但只有保留精确的 fraction，才能精确满足 initial velocity。Amplitude envelope 每秒缩小为原来的 $e^{-4}$。这不表示 $y(1)=e^{-4}y(0)$，因为 oscillatory 因子也在变化。

很小的 damping，长期仍有明显影响

考虑

$$y''+0.125y'+y=0, \qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.$$

Roots 是 $-1/16\pm i\sqrt{255}/16$。令 $\mu=\sqrt{255}/16$。Initial conditions 给出 $C_1=2$ 和 $-C_1/16+\mu C_2=0$，所以

$$\boxed{y(t)=e^{-t/16}\left(2\cos\frac{\sqrt{255}t}{16} +\frac{2}{\sqrt{255}}\sin\frac{\sqrt{255}t}{16}\right)}.$$

没有 damping 时，同样的 initial conditions 给出 $2\cos t$。Damped frequency 约为 $0.998$，接近 $1$，所以一开始两条曲线上下变化的节奏几乎一样。但长期表现完全不同：只有 damped solution 会趋于零。

Sine–cosine 组合的 amplitude 是 $32/\sqrt{255}$，因此有精确的 bound：

$$|y(t)|\le\frac{32}{\sqrt{255}}e^{-t/16}.$$

例如，要让 envelope 保证 $|y(t)|<0.1$，只需满足

$$t>16\ln\left(\frac{320}{\sqrt{255}}\right)\approx47.96.$$

实际 solution 会稍早一些永久进入这个范围，约在 $47.51$。Envelope 不需要找出最后一次穿越边界的时刻，就能给出可靠的 bound。

Small damping compared with no damping, exact exponential bounds, and the inward position–velocity spiral.

$y(t)$$2\cos t$$-\frac{32}{\sqrt{255}}e^{-t/16}$$\frac{32}{\sqrt{255}}e^{-t/16}$

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如果画的不是 displacement 随时间变化，而是点对 $(y(t),y'(t))$，就会得到时间图下方的向内 spiral。每一点同时记录某一时刻的 position 和 velocity，两者都趋于零。这里用这张图观察这一点即可。

在 underdamped regime 内，固定 $m,k$ 而增大 $\gamma$，会让 envelope 衰减得更快，却让 oscillation frequency 更低。衰减快和 oscillation 快是两回事。

Periodic forcing 与 steady-state motion

现在施加 periodic force

$$F(t)=F_0\cos(\omega t),$$

其中 $F_0>0$ 是 force amplitude，$\omega>0$ 是 forcing angular frequency。这个 frequency 由 input 决定，不一定等于系统的 natural frequency。

对于

$$my''+\gamma y'+ky=F_0\cos(\omega t),$$

尝试 particular solution $y_p=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$。如果 $\gamma>0$，homogeneous modes 都会衰减，纯 sine 或 cosine 不会与它们重合。因此这个 trial 不需要再乘 $t$。

例：分开看 transient 与 forced response

求解

$$y''+y'+1.25y=3\cos t, \qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=3.$$

代入 $y_p=A\cos t+B\sin t$，再做 coefficient matching：

$$\begin{cases} \frac14A+B=3,\\ -A+\frac14B=0. \end{cases}$$

第二个等式给出 $B=4A$，所以 $A=12/17$、$B=48/17$。因此

$$y_p=\frac{12}{17}\cos t+\frac{48}{17}\sin t.$$

它的 amplitude 是 $\sqrt{(12/17)^2+(48/17)^2}=12/\sqrt{17}$。Homogeneous equation 的 characteristic roots 为 $-1/2\pm i$，给出

$$y_c=e^{-t/2}(C_1\cos t+C_2\sin t).$$

要把 initial conditions 代入完整的和 $y=y_c+y_p$：

$$C_1+\frac{12}{17}=2, \qquad -\frac12C_1+C_2+\frac{48}{17}=3.$$

得到 $C_1=22/17$ 和 $C_2=14/17$，所以

$$\boxed{ \begin{aligned} y(t)&=\underbrace{e^{-t/2}\left(\frac{22}{17}\cos t+\frac{14}{17}\sin t\right)}_{\text{transient}}\\ &\quad+\underbrace{\frac{12}{17}\cos t+\frac{48}{17}\sin t}_{\text{steady-state response}}. \end{aligned} }$$

Transient 使 solution 满足 starting conditions，随后逐渐衰减。Steady-state response 则持续以 forcing frequency oscillate。这里的 steady 不是恒定不变，sinusoid 仍然会穿过零。准确的 convergence 表述是 $y(t)-y_p(t)\to0$，不是 $y(t)$ 趋于某个固定数值。

Total motion approaches the periodic steady state as the transient disappears.

$y(t)$$y_p(t)$$y_c(t)$

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Light damping 下的大幅 response

把前面的模型与下面的比较：

$$y''+0.125y'+y=3\cos t, \qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.$$

Forcing 没变，但 damping 更小，stiffness coefficient 也从 $1.25$ 变成了 $1$。同一个 trial 给出

$$0.125B=3,\qquad -0.125A=0,$$

所以 $y_p=24\sin t$。它的 displacement amplitude 为 $24$，是 static displacement $F_0/k=3$ 的八倍。用 displacement 与 displacement 比较，单位才一致；force 和 displacement 本来就不是同一类物理量。

Transient 仍按 $e^{-t/16}$ 衰减，所以 response 保持 bounded，并逐渐接近 $24\sin t$。图中 IVP 的完整 solution 是

$$y(t)=e^{-t/16}\left(2\cos\mu t-\frac{382}{\sqrt{255}}\sin\mu t\right)+24\sin t, \qquad \mu=\frac{\sqrt{255}}{16}.$$

其中的 coefficient 来自 $y'(0)=-2/16+\mu C_2+24=0$。这里 forcing frequency 等于 undamped natural frequency。这种大幅 response 常被称作 near resonance，但 positive damping 阻止了下一个例子中的无界增长。Damped amplitude 达到峰值的精确 frequency 不一定等于 $\omega_0$。

Light damping allows a large bounded response. Force divided by stiffness is plotted for a dimensionally consistent comparison.

$y(t)$$y_p(t)$$F(t)/k=3\cos t$

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Undamped resonance

令 $\gamma=0$，并以系统的 natural frequency $\omega=\omega_0=\sqrt{k/m}$ 施加 forcing。于是

$$my''+ky=F_0\cos(\omega_0t).$$

$\cos(\omega_0t)$ 和 $\sin(\omega_0t)$ 都是 homogeneous solutions。普通 sinusoidal trial 代入后只会得到零，不能产生 forcing。这不是说 undetermined coefficients 无法使用，而是需要把 trial 乘以 $t$：

$$y_p=At\cos(\omega_0t)+Bt\sin(\omega_0t).$$

利用 $k=m\omega_0^2$，代入后简化为

$$my_p''+ky_p =2m\omega_0\bigl(B\cos(\omega_0t)-A\sin(\omega_0t)\bigr).$$

Matching input 得到 $A=0$ 和 $B=F_0/(2m\omega_0)$。因此

$$\boxed{y(t)=C_1\cos(\omega_0t)+C_2\sin(\omega_0t) +\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin(\omega_0t)}.$$

Homogeneous 项保持 bounded，但 forced 项的 envelope 随时间 linear 增长。无论怎样选择 initial conditions，都无法抵消这种长期增长。

例如，

$$y''+y=\frac12\cos t, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0$$

的 solution 是 $y=t\sin t/4$，在每个时刻都位于直线 $y=\pm t/4$ 之间。

Undamped resonant motion grows between the two straight envelope lines.

$y(t)$$-t/4$$t/4$

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Displacement 并不是 monotone increasing 的：它仍不断穿过 equilibrium，但两侧偏离的幅度越来越大。Resonance 让 energy 随时间积累，不过 instantaneous input power 不必时时为正。

这说明了为什么接近 natural frequency 的 periodic input 会影响玻璃杯的振动、队列过桥和抗震设计。Resonance 也用于乐器和收音机调谐。真实系统存在 damping，linear model 也有适用限度，因此理想模型中的 unbounded solution 不表示真实物体会发生无限大的运动。

Tacoma Narrows Bridge 倒塌涉及的是另一个机制：风引起的运动包含 aeroelastic flutter，不能简单解释为给定的 periodic force 恰好匹配 linear oscillator 的 natural frequency。

Series RLC circuits

Series circuit 把 resistor、inductor、capacitor 接在同一个回路中。令 $Q(t)$ 表示所选 capacitor plate 上带正负号的 charge，并选择 current 的正方向，使得

$$I(t)=Q'(t).$$

符号与单位如下：

这里 $L$ 表示 inductance，不再是弹簧的静态伸长量。同样，capacitance $C$ 与 coulomb 的单位符号 $\mathrm C$ 也不同。

从 voltage drops 得到 ODE

三个元件的 voltage drops 分别为

$$V_R=RI,\qquad V_C=\frac QC,\qquad V_L=LI'.$$

Resistor 把 energy 转成 heat。Capacitor 在两极板之间的 electric field 中储存 energy。Inductor 则在 magnetic field 中储存 energy，并抵抗 current 的变化。

根据 Kirchhoff's voltage law，沿回路的 voltage drops 之和等于 applied voltage：

$$LI'+RI+\frac QC=E(t).$$

使用 $I=Q'$，得到 charge equation：

$$\boxed{LQ''+RQ'+\frac1C Q=E(t)}, \qquad Q(t_0)=Q_0,\qquad Q'(t_0)=I_0.$$

每一项的单位都是 volt。若 $E$ continuous，$L,C>0$、$R\ge0$ 为常数，那么 initial charge 和 current 唯一确定 solution。

如果想求 current 的方程，并且 $E$ continuously differentiable，可以对原式求一次 derivative：

$$\boxed{LI''+RI'+\frac1C I=E'(t)}.$$

但 current 的 initial derivative 不能再独立任取。原来的 charge equation 要求

$$\boxed{I'(t_0)=\frac{E(t_0)-RI_0-Q_0/C}{L}}.$$

保留这个条件，才能避免 differentiated equation 产生与原电路不一致的 solution。

对于 constant battery $E(t)=E_0$，若 $R>0$，current 最终趋于零，而 $Q(t)\to CE_0$。此时 capacitor 的 voltage 与 battery 平衡。如果没有 resistance，transient 就不一定会衰减。

Mechanical–electrical correspondence

把 charge equation 与 $my''+\gamma y'+ky=F(t)$ 比较：

这些对应表示相同的数学作用，不表示物理量彼此相等。Inductor 抵抗 current 的变化，类似于 mass 抵抗 velocity 的变化；capacitor 则提供 restoring term。

Natural frequency、damping 与 energy

对于 unforced circuit，characteristic equation 为

$$Lr^2+Rr+\frac1C=0.$$

可以直接得到 natural angular frequency、discriminant 和 critical resistance：

$$\boxed{\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}}, \qquad \Delta=R^2-\frac{4L}{C}, \qquad \boxed{R_c=2\sqrt{\frac LC}}.$$

• $R=0$：undamped natural oscillation。
• $0<R<R_c$：underdamped oscillation，常称为 ringing。
• $R=R_c$：critical damping，对应 repeated real root。
• $R>R_c$：overdamping，对应两个 negative real roots。

这些分类描述的是 natural response 或 transient，并不是说任意 externally driven motion 都具有同样的形式。对于 underdamping，roots 为

$$r=-\frac{R}{2L}\pm i\mu, \qquad \mu=\sqrt{\frac1{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}.$$

储存的 energy 为

$$\mathcal U=\frac12LI^2+\frac{Q^2}{2C}.$$

把 voltage equation 乘以 $I=Q'$，便能得到 energy 的 derivative：

$$\boxed{\mathcal U'=-RI^2+E(t)I}.$$

Source 提供的 power 是 $EI$，而 $RI^2$ 是转成 heat 的非负 power。没有 applied voltage，并不意味着没有储存的 energy。

理想 LC circuit 为什么会 oscillate

没有 resistor，也没有 applied voltage 时，取 $Q(0)=Q_0$、$I(0)=0$，得到

$$Q(t)=Q_0\cos(\omega_0t), \qquad I(t)=-\omega_0Q_0\sin(\omega_0t).$$

令 $T=2\pi/\omega_0$。每个周期中，energy 在两个位置之间转移：

Capacitor 的 charge 达到零时，current 仍在流动。Inductor 中储存的 energy 使 current 继续流动，给 capacitor 充上相反 polarity 的 charge。没有 resistance，就没有储存的 energy 被转成 heat，所以这个过程会反复进行。

例：用 microcoulomb 表示 charge，用 milliampere 表示 current

设

$$L=1\,\mathrm H,\qquad C=0.25\times10^{-6}\,\mathrm F, \qquad Q(0)=10^{-6}\,\mathrm C,\qquad I(0)=0.$$

则

$$Q''+4\times10^6Q=0, \qquad \omega_0=2000\,\mathrm{rad/s}.$$

以 second 为 $t$ 的单位，

$$\boxed{Q(t)=10^{-6}\cos(2000t)\quad\mathrm C}, \qquad \boxed{I(t)=-2\times10^{-3}\sin(2000t)\quad\mathrm A}.$$

Period 为 $\pi/1000\,\mathrm s\approx3.14\,\mathrm{ms}$。Current amplitude 为 $2\,\mathrm{mA}$，总储存 energy 为

$$\mathcal U(0)=\frac{(10^{-6})^2}{2(0.25\times10^{-6})} =2\times10^{-6}\,\mathrm J.$$

Charge and current exchange electric and magnetic energy with no heat loss.

$Q/(1\,\mu\mathrm C)$$I/(2\,\mathrm{mA})$

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图中横轴用 millisecond，纵轴分别画以 microcoulomb 表示的 charge，以及除以 $2\,\mathrm{mA}$ 后的 current。这样 normalize 后可以看清两者相差四分之一个周期，又不把 charge 和 current 当作同一种量。

加入 resistance

例：overdamped discharge

设

$$L=0.2\,\mathrm H,\quad R=300\,\Omega,\quad C=10^{-5}\,\mathrm F, \quad E(t)=0,$$

并给定 $Q(0)=10^{-6}\,\mathrm C$、$I(0)=0$。Charge equation 为

$$0.2Q''+300Q'+10^5Q=0,$$

除以 $0.2$ 后，等价地写成

$$Q''+1500Q'+5\times10^5Q=0.$$

Roots 为 $-500$ 和 $-1000$。此外，$R_c=2\sqrt{0.2/10^{-5}}\approx282.84\,\Omega$，所以 $R>R_c$ 也确认了这是 overdamping。

写成 $Q=C_1e^{-500t}+C_2e^{-1000t}$。Initial conditions 给出

$$C_1+C_2=10^{-6},\qquad -500C_1-1000C_2=0,$$

所以 $C_1=2\times10^{-6}$、$C_2=-10^{-6}$。以 second 为 $t$ 的单位，得到

$$\boxed{Q(t)=10^{-6}(2e^{-500t}-e^{-1000t})\quad\mathrm C},$$ $$\boxed{I(t)=10^{-3}(e^{-1000t}-e^{-500t})\quad\mathrm A}.$$

对于这组 initial conditions，charge 会降到零而不改变正负。Current 为负，表示所选极板正在放电。其 magnitude 的最大值是 $0.25\,\mathrm{mA}$，出现在 $t=(\ln2)/500\,\mathrm s\approx1.386\,\mathrm{ms}$；对 $I$ 求 derivative 即可找到这个时刻。

选择 critical resistance

如果 $L=0.2\,\mathrm H$、$C=0.8\times10^{-6}\,\mathrm F$，选择

$$R=R_c=2\sqrt{\frac{0.2}{0.8\times10^{-6}}} =1000\,\Omega.$$

就把电路放在 oscillatory 与 nonoscillatory natural responses 的分界处。与弹簧一样，讨论哪种情形返回得最快时，要固定 initial conditions 和其他 parameters。

例：ringing 与 heat

回到 $L=1\,\mathrm H$、$C=0.25\,\mu\mathrm F$，但这次取 $R=400\,\Omega$。因为 $R_c=4000\,\Omega$，电路是 underdamped 的。仍取 initial charge 为 $10^{-6}\,\mathrm C$，initial current 为零：

$$Q''+400Q'+4\times10^6Q=0.$$

Roots 有固定的 negative real part：

$$r=-200\pm i\mu,\qquad \mu=\sqrt{3960000}.$$

把 initial conditions 代入 $Q=e^{-200t}(C_1\cos\mu t+C_2\sin\mu t)$，得到 $C_1=10^{-6}$ 和 $\mu C_2=200C_1$。因此

$$\boxed{Q(t)=10^{-6}e^{-200t}\left(\cos\mu t+\frac{200}{\mu}\sin\mu t\right)}.$$

Amplitude envelope 每经过 $1/200\,\mathrm s=5\,\mathrm{ms}$ 就缩小为原来的 $e^{-1}$。Charge 和 current 一边 oscillate，一边趋于零。Energy 并不是凭空消失，而是转成了 resistor 中的 heat。

没有 external source 时，令从零时刻起累积的 heat 为

$$H(t)=\int_0^t RI(s)^2\,ds.$$

Energy balance 给出

$$\mathcal U(t)+H(t)=\mathcal U(0).$$

Charge and current decay as stored energy becomes heat in the resistor.

$Q/(1\,\mu\mathrm C)$$-\frac{2000}{\sqrt{3960000}}e^{-200t}$$\frac{2000}{\sqrt{3960000}}e^{-200t}$$I/(2\,\mathrm{mA})$

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随着 heat 累积，储存的 electric energy 和 magnetic energy 逐渐减少。Amplitude 的 decay rate 不是 instantaneous energy decay rate；后者取决于 current，满足 $\mathcal U'=-RI^2$。

两个系统都需要区分这一点：free motion 描述已有的 energy 怎样变化，forced motion 还取决于与 external source 交换的 energy。只要 equation 和 initial conditions 建立正确，接下来使用的 solution methods 是一样的。