Higher-order linear equation 与 second-order equation 的基本思路相同：先解 associated homogeneous equation；如果有 forcing term，再加上一个 particular solution。不同之处在于，$n$th-order equation 需要 $n$ 个 independent homogeneous solutions，也需要 $n$ 个 initial conditions。

一般的 nth-order linear equation

在 interval $I$ 上，考虑 normalized equation

$$y^{(n)}+p_1(t)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(t)y'+p_n(t)y=g(t).$$

这里，$y^{(k)}$ 表示 $y$ 对 $t$ 的第 $k$ 阶 derivative。$y^{(n)}$ 前面的 coefficient 是 $1$，所以这个方程称为 normalized。如果原方程的最高阶 derivative 前有一个不为零的 coefficient，应先在它不取零的 interval 上把整个方程除以它，再使用这个形式。

右边为零时，方程是 homogeneous：

$$y^{(n)}+p_1(t)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(t)y'+p_n(t)y=0.$$

如果 $g$ 不恒为零，方程就是 nonhomogeneous，而 $g(t)$ 是 forcing term。

Initial conditions 与 interval theorem

一个 $n$th-order initial-value problem 会在同一点 $t_0$ 指定 solution 本身以及前 $n-1$ 阶 derivatives 的值：

$$y(t_0)=b_0, \quad y'(t_0)=b_1, \quad\ldots,\quad y^{(n-1)}(t_0)=b_{n-1}.$$

假设 $I$ 是 open interval，$t_0\in I$，并且

$$p_1,\ldots,p_n,g$$

在 $I$ 上都 continuous。那么，无论怎样选取 $n$ 个 initial values $b_0,\ldots,b_{n-1}$，都恰好有一个 solution 定义在整个 $I$ 上。与 second-order theorem 一样，interval 不能省略：原方程最高阶 coefficient 的零点，或者 normalized coefficient 的 discontinuity，都可能把 real line 分成不同的有效 intervals。

Fundamental sets 与 Wronskian

假设 $y_1,\ldots,y_n$ 都是在 $I$ 上满足 associated homogeneous equation 的 solutions。它们的 Wronskian 定义为

$$W[y_1,\ldots,y_n](t) = \det \begin{pmatrix} y_1(t)&y_2(t)&\cdots&y_n(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t)&\cdots&y_n'(t)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(t)&y_2^{(n-1)}(t)&\cdots&y_n^{(n-1)}(t) \end{pmatrix}.$$

每一列记录一个 solution 及其前 $n-1$ 阶 derivatives。如果在某一点 $t_0\in I$ 有

$$W[y_1,\ldots,y_n](t_0)\ne0$$

这些列就是 independent 的。再结合 initial-value theorem，可知任意 $n$ 个 initial values 都能由唯一一个 linear combination

$$c_1y_1+\cdots+c_ny_n.$$

来匹配。此时，$\{y_1,\ldots,y_n\}$ 称为 $I$ 上的 fundamental set of solutions，而 homogeneous general solution 是

$$\boxed{y_c(t)=c_1y_1(t)+\cdots+c_ny_n(t)}.$$

下标 $c$ 表示 complementary solution。对于同一个 regular homogeneous linear equation 的 solutions，Wronskian 只要在 interval 中某一点不为零，就会在整个 interval 上保持不为零。

加上 particular solution

设 $y_p$ 是 nonhomogeneous equation 的任意一个 particular solution。那么，它的 general solution 为

$$\boxed{ y(t)=y_c(t)+y_p(t) =c_1y_1(t)+\cdots+c_ny_n(t)+y_p(t) }$$

这个结论来自 linearity。用 $L[y]=g$ 表示 nonhomogeneous equation。如果 $y$ 和 $y_p$ 都满足它，那么

$$L[y-y_p]=L[y]-L[y_p]=g-g=0.$$

所以 $y-y_p$ 一定是 homogeneous solution，可以用 fundamental set 写成 $c_1y_1+\cdots+c_ny_n$。$y_c$ 中的 $n$ 个 constants 正好用来匹配 $n$ 个 initial conditions；particular solution 不会再增加 arbitrary constant。

Constant coefficients 的 homogeneous equations

现在考虑

$$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0, \qquad a_0\ne0,$$

其中每个 $a_j$ 都是常数。Exponential function 很适合这个问题，因为每求一次 derivative，只会多乘一个相同的数。尝试

$$y(t)=e^{rt}.$$

由于 $y^{(k)}=r^ke^{rt}$，代入方程可得

$$e^{rt}\left(a_0r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n\right)=0.$$

$e^{rt}$ 永远不为零，所以 $r$ 必须满足 characteristic equation

$$\boxed{P(r)=a_0r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n=0}.$$

Fundamental Theorem of Algebra 说明：计算 multiplicity 时，degree-$n$ characteristic polynomial 一共有 $n$ 个 complex roots。这里先只考虑 $n$ 个 roots $r_1,\ldots,r_n$ 都是 distinct real numbers 的情形。每一个 root 都给出一个 exponential solution $e^{r_jt}$。

为什么 distinct exponentials 是 independent 的

按 Wronskian 各列采用的顺序排列 roots。对

$$y_j(t)=e^{r_jt},$$

Wronskian 为

$$\begin{aligned} W(t) &= \det \begin{pmatrix} e^{r_1t}&e^{r_2t}&\cdots&e^{r_nt}\\ r_1e^{r_1t}&r_2e^{r_2t}&\cdots&r_ne^{r_nt}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ r_1^{n-1}e^{r_1t}&r_2^{n-1}e^{r_2t}&\cdots&r_n^{n-1}e^{r_nt} \end{pmatrix}\\ &=e^{(r_1+\cdots+r_n)t} \det \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ r_1&r_2&\cdots&r_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ r_1^{n-1}&r_2^{n-1}&\cdots&r_n^{n-1} \end{pmatrix}\\ &=e^{(r_1+\cdots+r_n)t} \prod_{1\le i<j\le n}(r_j-r_i). \end{aligned}$$

最后一个 determinant 称为 Vandermonde determinant。Exponential factor 永远不为零；由于 roots 互不相同，每个差 $r_j-r_i$ 也不为零。因此，这些 exponentials 构成 fundamental set，并且

$$\boxed{y(t)=c_1e^{r_1t}+\cdots+c_ne^{r_nt}}.$$

一个 fourth-order 例题

求解 initial-value problem

$$y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0,$$ $$y(0)=1, \qquad y'(0)=0, \qquad y''(0)=-2, \qquad y'''(0)=-1.$$

Characteristic polynomial 为

$$P(r)=r^4+r^3-7r^2-r+6.$$

因为 $P(1)=0$，先除以 $r-1$：

$$P(r)=(r-1)(r^3+2r^2-5r-6).$$

Cubic polynomial 在 $r=-1$ 时为零，剩下的 quadratic factor 为 $r^2+r-6=(r-2)(r+3)$。所以

$$\boxed{P(r)=(r+3)(r+1)(r-1)(r-2)}.$$

按从小到大的顺序取

$$r_1=-3, \quad r_2=-1, \quad r_3=1, \quad r_4=2,$$

得到 fundamental solutions

$$e^{-3t},\qquad e^{-t},\qquad e^t,\qquad e^{2t}.$$

在 $t=0$ 处，它们的 Wronskian matrix 是

$$\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ -3&-1&1&2\\ 9&1&1&4\\ -27&-1&1&8 \end{pmatrix}.$$

它的 determinant 是 Vandermonde product：

$$\prod_{i<j}(r_j-r_i)=240\ne0,$$

因此，四个 exponentials 确实 independent。写成

$$y(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{-t}+c_3e^t+c_4e^{2t}.$$

代入四个 initial conditions，得到

$$\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ -3&-1&1&2\\ 9&1&1&4\\ -27&-1&1&8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3\\c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\-2\\-1 \end{pmatrix}.$$

解这个 system：

$$c_1=-\frac18, \qquad c_2=\frac5{12}, \qquad c_3=\frac{11}{8}, \qquad c_4=-\frac23.$$

所以

$$\boxed{ y(t)=-\frac18e^{-3t}+\frac5{12}e^{-t} +\frac{11}{8}e^t-\frac23e^{2t} }.$$

每个 exponential 都满足 differential equation，因为它的 exponent 是 $P$ 的一个 root。把 $t=0$ 代入 solution 及其前三阶 derivatives，依次得到 $1$、$0$、$-2$、$-1$，所以四个 initial conditions 全部满足。